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EL NÚMERO AUREO

El número más hermoso del Universo

 
1.618...

Pero, ¿qué tiene de hermoso y especial este número?

Se le ha llamado como número áureo, número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, sección áurea, proporción áurea y hasta divina proporción. Han hablado de él en el cine y la narrativa: Dan Brown en la novela ficticia El código Da Vinci y Darren Aronofsky en la película Pi, el orden del caos.

El número áureo pertenece al conjunto de los números irracionales, es decir, aquellos que no pueden expresarse como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos es irracional (un descubrimiento que incomodó de tal manera a los pitagóricos, que lo ocultaron al mundo). El número áureo lo podemos calcular de la siguiente manera: primero calculamos la raíz cuadrada de 5, luego sumamos 1 al resultado, y el total lo dividimos entre 2.

Platón (s. IV a.C.) consideró que los números irracionales eran de particular importancia y la llave a la física del Cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.

Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del Cosmos usando los cinco poliedros universales o sólidos platónicos. Combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de Cuatro Elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Demócrito. Para Platón cada uno de los poliedros correspondía a una de las partículas que conformaban cada uno de los elementos. Según esta teoría, el Fuego estaba asociado al Tetraedro, la Tierra al Hexaedro o Cubo, el Aire al Octaedro, el Agua al Icosaedro, y finalmente el Universo como un Todo, unido a través del Éter, estaba asociado con el Dodecaedro, o Quintaesencia.

En 1900, el matemático Mark Barr efectuó la denominación con la letra griega Φ ó φ (Phi) en honor al escultor griego Fidias ya que éste usaba el número Φ en sus obras, y además ésta era la primera letra de su nombre (Φειδίας). Este honor también se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, característica que ya desde entonces se le atribuía al número áureo.

El número áureo, Φ (Phi), se puede derivar también de la Secuencia de Fibonacci, una progresión famosa no sólo porque la suma de los números procedentes equivale al siguiente, sino porque los cocientes de los números precedentes poseen la sorprendente propiedad de tender a 1.618, es decir, al número Φ.

En 1202, Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Liber abacci (1202-1228), usa la sucesión que lleva su nombre para formular un acertijo matemático en el cual hay que calcular el número de pares de conejos determinado número de meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse, suponiendo que cada par de conejos produzca otro par cada mes.

El resultado es:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…

El cociente de dos cifras sucesivas de la Sucesión de Fibonacci tiende al número áureo, es decir, a Φ. En realidad existen dos números áureos, uno positivo (1.618) y otro negativo (0.618). El positivo se obtiene de una fracción propia. Por ejemplo, 233 ÷ 144 = 1.61805… El negativo se obtiene de una fracción impropia, es decir, cuando se divide el número anterior (menor) entre el número subsiguiente (mayor), así 144 ÷ 233 = 0.61802…

De este modo, el canon estético de la sección áurea, o regla de la proporción divina, puede enunciarse de esta manera: para que un todo, dividido en dos partes diferentes, aparezca en una proporción armónica y hermosa, es preciso que, entre la parte menor y la mayor haya la misma proporción que entre la mayor y el todo.

Si convertimos los números en cuadrados, derivaremos de esta regla la figura del rectángulo áureo, en el cual el cociente de su longitud y su altura es igual a Φ. De este rectángulo se deriva también la espiral logarítmica también conocida como Espiral de Durero ya que en 1525, Albrecht Dürer publicó su Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas, donde describe cómo trazarla con regla y compás :

La espiral logarítmica puede ser de dos tipos principales:
  1. Aquella que comienza por medio de la Secuencia de Fibonacci y continúa infinitamente, es decir tiene un comienzo (1² en la escala) pero no tiene fin. De hecho, el cociente entre los primeros números de la escala no corresponden exactamente a Φ, sino que van aproximándose a medida que ésta crece.
  2. Aquella que no tiene comienzo ni tiene fin, es una figura fractal perfecta que siempre presenta Φ en todas sus secciones; es la espiral dorada.

En 1509, el monje Luca Pacioli, teólogo y matemático, quizás influido por la idea de que los nuevos descubrimientos debían adaptarse a las creencias de la Iglesia, publica su libro De Divina Proportione (Sobre la Divina Proporción), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al número áureo:

  1. La unicidad. Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.
  2. La autosemejanza asociada al número áureo. Pacioli la compara con la omnipresencia e inmutabilidad de Dios.
  3. Tiene una correspondencia con la Santísima Trinidad; es decir, así como hay una misma sustancia entre tres personas (Padre, Hijo y Espíritu Santo), de igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o de menos.
  4. La inconmensurabilidad. Para Pacioli la inconmesurabilidad del número áureo, y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.
  5. De la misma manera en que Dios dio existencia al Universo a través de la Quintaesencia, representada por el Dodecaedro, el número áureo dio existencia al Dodecaedro.

Los 12 ángulos de 3 rectángulos áureos coinciden con los centros de las 12 caras del dodecaedro

Pero el aspecto verdaderamente asombroso de este número es su papel básico en tanto que molde constructivo de la Naturaleza. Las plantas, los animales e incluso los seres humanos poseen medidas que se ajustan con misteriosa exactitud a la razón de Φ.

El número Φ en la Naturaleza

Los números de Fibonacci y la razón áurea se encuentran tanto en la distribución de las hojas de un tallo como en el número de espirales que aparecen en las flores del brócoli y la disposición de los pétalos de las flores y hasta en las espirales de una piña. La proporción entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias, equivale a Φ.

Hojas, pétalos y semillas se ordenan en las plantas siguiendo el número áureo porque es el mejor sistema de empaquetamiento posible que la estructura mantiene a medida que la planta crece. Si colocamos el número áureo de hojas alrededor del tallo obtenemos el mejor ordenamiento para que todas ellas reciban niveles óptimos de luz sin que unas oculten a otras, y en el caso de las flores, se obtiene la mejor exposición para atraer a los insectos polinizadores. Además, la razón áurea consigue la máxima ocupación en el mínimo espacio posible.

Las semillas del girasol (Helianthus annuus) están siempre equidistantes unas de otras debido a que se ordenan siguiendo espirales construidas con el número áureo.

La presencia del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig

El número Φ se encuentra en la relación de la distancia entre las espiras del interior espiralado de muchos caracoles como el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas en las que se puede encontrar de alguna manera al número áureo. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, del Scalaria pretiosa, del Facelaria y del Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento. El factor de crecimiento de una concha de caracol es el número áureo.

Existen cristales de pirita dodecaédricos pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentágonos perfectos. Un pentágono contiene en sí mismo el número áureo, pues se obtiene del cociente de la diagonal del pentágono entre uno de sus lados. Incluso en las secciones del ADN existen micro-pentágonos.

La proporción entre el número de abejas macho y abejas hembra en un panal se aproxima a los valores de Φ. También en los astros puede apreciarse la presencia del número áureo. Así, si observamos a Saturno, se pueden distinguir dos prominentes anillos y uno más tenue. En la separación entre los dos primeros, conocida como división de Cassini, está presente la proporción áurea.

También Φ está presente en la anatomía humana.

  • El cociente entre la altura total de un ser humano y la altura de su ombligo es Φ.
  • El cociente entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos es Φ.
  • El cociente entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla es Φ.
  • El cociente entre el hueso metacarpiano de la mano y la primera falange, o entre la primera falange y la segunda, o entre la segunda falange y la tercera, todo es Φ.

La ubicuidad de Φ en la Naturaleza trasciende la mera casualidad, por lo que los antiguos creían que ese número o proporción había sido predeterminada por el Creador del Universo. Quizás también por esa razón, Pacioli llamó a esta proporción como La Divina Proporción.

La Naturaleza parece usar esta proporción como si de un profundo secreto se tratara, un secreto que ordena todo armónicamente no sólo para el óptimo funcionamiento del Universo, sino también para su evidente manifestación estética; su belleza inherente y absoluta. Este número parece ser el sello; la firma de aquel artista que confeccionó la Naturaleza como una colosal obra de arte, ese artista que algunos llaman Dios.

El número Φ en el arte

Esta proporción áurea que se evidencia en la Naturaleza, es precisamente la que artistas de la antigüedad, del renacimiento y de hoy expresaron en muchas de las más hermosas obras en la escultura, en la pintura y en la arquitectura. La misma regla tenía incluso parte en la música griega, determinando gráficamente la proporción de las cuerdas, para que produjeran sonidos armónicos.

El Partenón de Atenas (s. V a.C.) es un buen ejemplo de belleza arquitectónica griega, y como tal, se puede enmarcar dentro de un rectángulo áureo. La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, son iguales a Φ.

El número áureo aparece en proporciones de las obras de Miguel Ángel, Albrecht Dürer y Leonardo da Vinci, entre otros.

También en las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussy, músicos que probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente y accidental, basándose en equilibrios de masas sonoras. En la estructura de los violines, la ubicación de las efes (los oídos, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.

El cuadro Leda atómica de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka, está plasmado de acuerdo a la figura del pentagrama, la cual contiene a Φ.

El Hombre de Vitruvio

Siguiendo los pasos de quienes más le influyeron: el humanista Leon Battista Alberti y el escultor Antonio Filarete, Leonardo da Vinci (1452-1519) pensaba que la anatomía y la arquitectura estaban relacionadas. Fue en la década de 1480, mientras trataba de ganarse al duque de Milán y a los arquitectos de la corte, cuando profundizó en esta relación que expresó en su famoso dibujo de 1487, basado claramente en la descripción del arquitecto romano Marcus Vitruvius Pollio (s. I a.C.)

En esta descripción, Vitruvius afirma: "En el cuerpo humano, la parte central es el ombligo. Pues si un hombre se acuesta boca arriba, con los brazos y las piernas extendidas, y se centran un par de compases en el ombligo, los dedos de las manos y los pies tocarán la circunferencia descrita a partir de ese centro. Y también puede inscribirse una figura cuadrada". Si dividimos un lado del cuadrado (que corresponde a la altura del ser humano), entre el radio de la circunferencia (la distancia entre el ombligo y la punta de los dedos) tendremos el número áureo.

Pero además, este dibujo simboliza la Cuadratura del Círculo; el Hieros Gamos o Unión Sagrada. El cuadrado representa a la Tierra (4 puntos cardinales; 4 estaciones; 4 elementos), el círculo represental al Cielo, y el ser humano, el centro, es la síntesis; el elemento que con su conciencia une ambos planos. Un par de las manos dibujadas toca únicamente el perímetro de la Tierra, lo que simboliza el caracter terrenal de las obras del hombre; el otro par toca tanto el perímetro de la Tierra como el del Cielo, es decir, las obras del hombre nos pueden ayudan a alcanzar dicha unión, la plenitud de la individuación. En cambio, un par de pies toca tanto el perímetro del Cielo como el de la Tierra; es el sendero firme que se debe recorrer para alcanzar dicha plenitud; el otro par toca únicamente el perímetro del Cielo, lo que supone la consecuencia de haber alcanzado la verdadera Libertad y la verdadera Ciencia, como volar por el aire.

Poco a poco, Leonardo se fue obsesionando con la búsqueda de pautas que relacionaran no sólo la anatomía con la arquitectura, sino con la estructura armónica de la música y con la propia naturaleza. Su búsqueda de proporciones en el mundo que lo rodeaba, al igual que su intento de relacionar la circunferencia de las copas de los árboles con la longitud de sus ramas, fue intensa pero vana. No obstante, no era una idea errónea, porque mirando la naturaleza podemos encontrar el número áureo en diferentes contextos.

El Pentagrama

Ese número 5, que nos indican los sólidos platónicos que, según la escuela helénica, constituyen la base geométrica del Universo, es el número arquetípico del hombre: 5 extremidades; 5 sentidos; 5 dedos en cada mano y pie. La imagen de Dios (que es representado por el número 10, o sea, la misma unidad, expresada en la Década), creada por él “en su semejanza” macho y hembra (5 y 5). El Universo es representado por el 12; el dodecaedro, cuyas doce caras tienen 5 lados y 5 ángulos.

El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Como hemos visto, el número áureo en un pentágono se obtiene dividiendo su diagonal (AB) entre uno de sus lados (CD). Esa proporción es también aquella entre el diámetro de la base y el de la periferia de una legendaria copa de oro, de exquisita hermosura, que habría servido a los dioses.


El pentagrama ha sido usado por diversas culturas a lo largo de la historia, incluyendo a los sacerdotes de las antiguas religiones paganas quienes veían en él un símbolo de la Naturaleza y sus Cuatro Elementos más el Quinto. Esta figura es la máxima expresión geométrica de la Divina Proporción porque la razón de todos sus segmentos equivale a Φ. Por ello, la estrella de cinco puntas fue usada por los pitagóricos como símbolo distintivo. Ha sido también el símbolo de la belleza y la perfección asociada a las diosas de la belleza, como Venus, Afrodita, Ishtar, Inanna, Astarté, Freyha, Isis, etc. Los triángulos que pueden contarse en el pentagrama se conocen como triángulos áureos.

Teniendo en cuenta la gran simetría de esta figura, se puede observar que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad fractálica hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas.

El mismo dodecaedro resulta, como se ha dicho, de la combinación de 5 tetraedros, y además es la figura sólida que se produce naturalmente por la presión de las doce esferas que precisamente pueden disponerse alrededor de una esfera central, de la misma forma que únicamente seis círculos pueden disponerse en torno de uno central, determinado por la formación del hexágono.

Si nos quedamos por un momento en el mismo pentagrama, que es el orden divino expresado progresivamente en la Creación, el estudio de sus proporciones puede conducirnos a los más interesantes descubrimientos, confirmando la teoría pitagórica de que:

  1. Todo es ordenado según el número. (La Aritmética)
  2. El Cosmos obedece a las leyes geométricas. (La Geometría)
  3. El Hombre sintetiza la Armonía Creadora. (Que se manifiesta con el conocimiento iniciático de la Música)
  4. Las proporciones del cuerpo humano, reflejo de las proporciones divinas expresadas en la Arquitectura Cósmica (conocida por medio de la Astronomía), son las mismas que han de regir toda construcción y obra hermosa.
El Quadrivium pitagórico consideraba que la Aritmética era el estudio del número en estado puro, que la Geometría era el estudio del espacio en estado puro, que la Música era el estudio del número en movimiento y que la Astronomía era el estudio del espacio en movimiento.

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